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    1.CRC的工作方法
　　在發送端產生一個循環冗余碼，附加在信息位后面一起發送到接收端，接收端收到的信息按發送端形成循環冗余碼同樣的算法進行校驗，
    若有錯，需重發。
　2.循環冗余碼的產生與碼字正確性檢驗例子。
　例1.已知：信息碼:110011　信息多項式:K(X)=X5+X4+X+1
　　　　　　生成碼:11001  　生成多項式:G(X)=X4+X3+1(r=4)
　　　　求：循環冗余碼和碼字。
　　解：1)(X5+X4+X+1)*X4的積是 X9+X8+X5+X4 對應的碼是1100110000。
　　　　2)積／G(X)(按模二算法)。
　　　　由計算結果知冗余碼是1001，碼字就是1100111001。 

　　　　　　　　　　　　 　　1 0 0 0 0 1←Q(X)
　　G(x)→1 1 0 0 1 )1 1 0 0 1 1 0 0 0 0←F(X)*Xr　
　　　　　　　　　　 1 1 0 0 1　　　　　，
　　　　　　　　　　　　　　　 1 0 0 0 0
　　　　　　　　　　　　　　　 1 1 0 0 1
　　　　　　　　　　　　　　　 　1 0 0 1←R(X)(冗余碼)
 

　例2.已知：接收碼字:1100111001　多項式:T(X)=X9+X8+X5+X4+X3+1
　　　　　　生成碼　:　　11001    生成多項式:G(X)=X4+X3+1(r=4)
　　　　求：碼字的正確性。若正確，則指出冗余碼和信息碼。
　　解：1)用字碼除以生成碼，余數為0，所以碼字正確。 

　　　　　　　　　　　 　　1 0 0 0 0 1←Q(X)
　G(x)→1 1 0 0 1 )1 1 0 0 1 1 1 0 0 1←F(X)*Xr＋R(x)　
　　　　　　　　　 1 1 0 0 1　　　　　，
　　　　　　　　　　　　　　 1 1 0 0 1
　　　　　　　　　　　　　　 1 1 0 0 1
　　　　　　　　　　　　　　　 　　　0←S(X)(余數)
 

　　　　2)因r=4，所以冗余碼是：11001，信息碼是:110011
　　　　

　3.循環冗余碼的工作原理
　　循環冗余碼CRC在發送端編碼和接收端校驗時，都可以利用事先約定的生成多項式G(X)來得到，K位要發送的信息位可對應于一個(k-1)
    次多項式K(X),r位冗余位則對應于一個(r-1)次多項式R(X)，由r位冗余位組成的n=k+r位碼字則對應于一個(n-1)次多項式T(X)=Xr*K(X)+R(X)。

　4.循環冗余校驗碼的特點
　　1)可檢測出所有奇數位錯；
　　2)可檢測出所有雙比特的錯；
　　3)可檢測出所有小于、等于校驗位長度的突發錯。


模2除法每一步的模2減法，可以簡單的理解為就是按位異或，各種情況的結果為
  0  0  1  1
  0  1  0  1
--- --- --- ---
  0  1  1  0
例子3.1
計算余數(可以不考慮模2除法的結果，光考慮余數)
      101100110000
      10011
--------------------------
        1010110000
        10011
--------------------------
          11010000
          10011
--------------------------
            1001000
            10011
--------------------------
              0100
發送端的碼字應為101100110100